Các Bất Đẳng Thức Thường Dùng Trong Cm Bđt, Bất Đẳng Thức Là Gì

bài viết này Vted thống kê cho bạn đọc những bất đẳng thức cơ bạn dạng như BĐT AM - GM (Côsi), BĐT Cauchy - Schwarz (Bunhiacopsky), BĐT cất căn thức, BĐT Mincopsky (Véctơ) cần nhớ áp dụng trong số bài toán giá chỉ trị lớn nhất và giá trị bé dại nhất:

*

Bất đẳng thức có được từ hằng đẳng thức dạng $(a-b)^2ge 0$

$a^2+b^2ge 2ab;able left( fraca+b2 ight)^2;a^2+b^2ge frac12(a+b)^2.$ lốt bằng xẩy ra khi còn chỉ khi $a=b.$$a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ca.$ vệt bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a=b=c.$$a^2+b^2+c^2ge frac13(a+b+c)^2.$ lốt bằng xảy ra khi và chỉ còn khi $a=b=c.$$(a+b+c)^2ge 3(ab+bc+ca).$ vết bằng xẩy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$

Bất đẳng thức với nhì căn thức cơ bản

$sqrta+sqrtbge sqrta+b.$ vệt bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $a=0$ hoặc $b=0.$$sqrta+sqrtble sqrt2(a+b).$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi $a=b.$

Ví dụ 1:Cho nhị số thực $x,y$ ưng ý $x+y=2left( sqrtx-3+sqrty+3 ight).$ Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức $P=4(x^2+y^2)+15xy.$
A. $min P=-80.$ B. $min P=-91.$ C. $min P=-83.$ D. $min P=-63.$

Giải.

Bạn đang xem: Các bất đẳng thức thường dùng

Ta bao gồm $x+y=2left( sqrtx-3+sqrty+3 ight)ge 2sqrt(x-3)+(y+3)=2sqrtx+y.$ Suy ra $x+y=0$ hoặc $x+yge 4.$

Và $x+y=2left( sqrtx-3+sqrty+3 ight)le 2sqrtleft( 1+1 ight)left( x-3+y+3 ight)=2sqrt2(x+y)Rightarrow x+yle 8.$

Nếu $x+y=0Leftrightarrow x=3;y=-3Rightarrow P=-63.$Nếu $x+yin <4;8>,$ khởi đầu từ điều kiện khẳng định căn thức ta có: <(x-3)(y+3)ge 0Rightarrow xyge 3(y-x)+9.>

Suy ra

<eginarrayc phường = 4x^2 + 4y^2 + 15xy = 4(x + y)^2 + 7xy ge 4(x + y)^2 + 7left< 3(y - x) + 9 ight>\ = left< 4(x + y)^2 - 21(x + y) ight> + left( 42y + 63 ight)\ ge left( 4.4^2 - 21.4 ight) + left( 42.( - 3) + 63 ight) = - 83. endarray>

Dấu bởi đạt tại $x=7,y=-3.$ Đối chiếu hai trường phù hợp ta Chọn lời giải C.

*Chú ý: Hàm số $y=4t^2-21t$ đồng phát triển thành trên đoạn $<4;8>$ buộc phải ta có đánh giá $4(x+y)^2-21(x+y)ge 4.4^2-21.4.$

Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa vn gọi là bất đẳng thức Côsi)

Với nhì số thực ko âm ta có $a+bge 2sqrtab.$ dấu bằng xẩy ra khi còn chỉ khi $a=b.$Với tía số thực không âm ta bao gồm $a+b+cge 3sqrt<3>abc.$ vết bằng xẩy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$Với $n$ thực không âm ta gồm $a_1+a_2+...+a_nge nsqrta_1a_2...a_n.$ vệt bằng xảy ra khi còn chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n.$Ví dụ 1:Cho $a>0;b>0$ đống ý $log _2a+2b+1(4a^2+b^2+1)+log _4ab+1(2a+2b+1)=2.$ quý hiếm biểu thức $a+2b$ bằng
A. $frac32.$ B. $5.$ C. $4.$ D. $frac154.$

Giải. Chú ý $log _ab=dfracln bln a.$ Vậy $dfracln left( 4a^2+b^2+1 ight)ln left( 2a+2b+1 ight)+dfracln left( 2a+2b+1 ight)ln left( 4ab+1 ight)=2.$

Sử dụng AM – GM có

$dfracln left( 4a^2+b^2+1 ight)ln left( 2a+2b+1 ight)+dfracln left( 2a+2b+1 ight)ln left( 4ab+1 ight)ge 2sqrtdfracln (4a^2+b^2+1)ln (4ab+1).$

Mặt không giống $4a^2+b^2ge 2sqrt4a^2.b^2=4abRightarrow 4a^2+b^2+1ge 4ab+1Rightarrow dfracln (4a^2+b^2+1)ln left( 4ab+1 ight)ge 1.$

Do kia dấu bằng phải xảy ra tức

Do kia $a+2b=frac34+3=frac154.$ Chọn giải đáp D.

Ví dụ 2:Cho các số thực dương $x,y,z.$ Biết giá chỉ trị nhỏ nhất của biểu thức $P=dfracx^2y+dfracy^24z+dfracz^2x+dfrac175sqrtx^2+94(x+1)$ là $dfracab$ cùng với $a,b$ là những số nguyên dương và $fracab$ buổi tối giản. Tính $S=a+b.$
A. $S=52.$ B. $S=207.$ C. $S=103.$ D. $S=205.$

Giải.Ta review ba số hạng đầu để mất vươn lên là y và z bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

$dfracz^2x+dfracy^28z+dfracy^28z+dfracx^24y+dfracx^24y+dfracx^24y+dfracx^24yge 7sqrt<7>dfracz^2xleft( dfracy^28z ight)^2left( dfracx^24y ight)^4=dfrac7x4.$

Vậy $Pge f(x)=dfrac7x4+dfrac175sqrtx^2+94(x+1)ge underset(0;+infty )mathopmin ,f(x)=f(4)=dfrac2034.$ Chọn câu trả lời B.

Dấu bằng đạt trên $left{ eginalign&dfracz^2x=dfracy^28z=dfracx^24y, \ và x=4 \ endalign ight.Leftrightarrow (x;y;z)=(4;4;2).$

Ví dụ 3.Cho những số thực $a,b,c$ lớn hơn $1$ thoả nguyện $log _abc+log _bca+4log _cab=10.$ Tính cực hiếm biểu thức $P=log _ab+log _bc+log _ca.$
A. $P=5.$ B. $P=frac72.$ C. $P=frac214.$ D. $P=frac92.$

Giải. Chú ý chuyển đổi logarit $log _axy=log _ax+log _ay(x>0,y>0),00;log _bc>0;log _ca>0$ và để ý tính chất $log _xy.log _yx=1left( 0Ví dụ 4.Có tất cả bao nhiêu bộ tía số thực $(x;y;z)$ đống ý đồng thời các điều kiện dưới đây<2^sqrt<3>x^2.4^sqrt<3>y^2.16^sqrt<3>z^2=128> cùng $left( xy^2+z^4 ight)^2=4+left( xy^2-z^4 ight)^2.$

A. $8.$ B. $4.$ C. $3.$ D. $2.$

Giải. Ta gồm <2^sqrt<3>x^2.4^sqrt<3>y^2.16^sqrt<3>z^2=128Leftrightarrow 2^sqrt<3>x^2+2sqrt<3>y^2+4sqrt<3>z^2=2^7Leftrightarrow sqrt<3>x^2+2sqrt<3>y^2+4sqrt<3>z^2=7.>

Khai thác điều kiện số 2, ta có

Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM đến 7 số thực dương ta có

x^2+2sqrt<3>y^2+4sqrt<3>z^2ge 7sqrt<7>sqrt<3>x^2left( sqrt<3>y^2 ight)^2left( sqrt<3>z^2 ight)^4=7sqrt<7>sqrt<3>x^2y^4z^8=7sqrt<7>sqrt<3>left( xy^2z^4 ight)^2=7.>

Do đó dấu bởi phải xẩy ra tức x^2 = sqrt<3>y^2 = sqrt<3>z^2 = 1\ xy^2z^4 = 1 endarray ight. Leftrightarrow x = 1;y,z in left - 1;1 ight.>

Mỗi số $y,z$ bao gồm 2 biện pháp vậy có tất cả $1.2^2=4$ bộ số thực thoả mãn. Chọn câu trả lời B.

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa nước ta gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)

Ta luôn có $(a^2+b^2)(x^2+y^2)ge (ax+by)^2.$ vệt bằng xẩy ra khi và chỉ khi $fracax=fracby.$

Ta tốt sử dụng: $-sqrt(a^2+b^2)(x^2+y^2)le ax+byle sqrt(a^2+b^2)(x^2+y^2).$

Dấu bằng bên nên đạt tại $fracax=fracby=k>0;$ dấu bởi bên trái đạt trên $fracax=fracby=k
Ta luôn có $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)ge (ax+by+cz)^2.$ lốt bằng xẩy ra khi còn chỉ khi $fracax=fracby=fraccz.$Ta luôn có $(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)ge (a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n)^2.$ vệt bằng xẩy ra khi và chỉ khi $fraca_1x_1=fraca_2x_2=...=fraca_nx_n.$Ví dụ 1:Cho nhị số thực $x,y$ vừa lòng $x^2+y^2le 2x+3y.$ giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức $2x+y$ bằng

A. $frac19+sqrt192.$ B. $frac7+sqrt652.$ C. $frac11+10sqrt23.$ D. $frac7-sqrt102.$

Giải. Ta có thay đổi giả thiết: $x^2-2x+y^2-3yle 0Leftrightarrow (x-1)^2+left( y-frac32 ight)^2le frac134.$

Khi đó $2x+y=2(x-1)+left( y-frac32 ight)+frac72le sqrtleft( 2^2+1^2 ight)left( (x-1)^2+left( y-frac32 ight)^2 ight)+frac72le sqrt5.frac134+frac72=frac7+sqrt652.$

Dấu bằng đạt trên (left{ eginarrayl fracx - 12 = fracy - frac321 = k>0\ 2x + y = frac7 + sqrt 65 2 endarray ight. Leftrightarrow x = frac5 + sqrt 65 5;y = frac15 + sqrt 65 10.) Chọn lời giải B.

Ví dụ 2: Cho các số thực $x,y,z$ mãn nguyện $x^2+y^2+z^2-4x+2y-12le 0.$ giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức $2x+3y-2z$ bằng
A. $17.$ B. $25.$ C. $21.$ D. $24.$

Giải. Biến đổi giả thiết bao gồm $(x-2)^2+(y+1)^2+z^2le 17.$

Khi đó

(eginarrayc 2x + 3y - 2z = left( 2(x - 2) + 3(y + 1) - 2z ight) + 4\ le sqrt left( 2^2 + 3^2 + ( - 2)^2 ight)left( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 ight) + 4 le sqrt 17.17 + 4 = 21. endarray)

Dấu bởi đạt tại (left{ eginarrayl fracx - 22 = fracy + 13 = fracz - 2\ 2x + 3y - 2z = 21 endarray ight. Leftrightarrow x = frac7417,y = frac4317,z = - frac4017.) Chọn giải đáp C.

Ví dụ 3. Cho nhị số thực $x,y$ thay đổi thoả mãn $x+y=sqrtx-1+sqrt2y+2.$ hotline $a,b$ theo lần lượt là giá chỉ trị lớn nhất và giá bán trị nhỏ dại nhất của biểu thức $S=x^2+y^2+2(x+1)(y+1)+8sqrt4-x-y.$ Tính $P=a+b.$
A. $P=44.$ B. $P=41.$ C. $P=43.$ D. $P=42.$

Giải. Ta tất cả $x+y=sqrtx-1+sqrt2(y+1)le sqrt3(x+y)Rightarrow t=x+yin <0;3>.$

Khi đó

$eginalign& S=(x+y)^2+2(x+y)+8sqrt4-x-y+2 \& =f(t)=t^2+2t+8sqrt4-t+2in <18;25>,forall tin <0;3>Rightarrow P=18+25=43.endalign$

Chọn đáp án C.

Xem thêm: Dưỡng Trắng Da Bằng Sữa Tươi Đơn Giản Nhất Tại Nhà

Ví dụ 4:Số phức $z$ toại nguyện $left| z+1-2i ight|=2sqrt2,$ giá bán trị lớn nhất của biểu thức $aleft| z-1 ight|+bleft| z+3-4i ight|,left( a,b>0 ight)$ bằng

Giải.Đặt $z=x+yiRightarrow left| z+1-2i ight|=2sqrt2Leftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=8.$

Khi đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có

$egingathered p. = asqrt (x - 1)^2 + y^2 + bsqrt (x + 3)^2 + (y - 4)^2 leqslant sqrt left( a^2 + b^2 ight)left( left( x - 1 ight)^2 + y^2 + left( x + 3 ight)^2 + left( y - 4 ight)^2 ight) \ = sqrt left( a^2 + b^2 ight)left( 2x^2 + 2y^2 + 4x - 8y + 26 ight) = sqrt 2left( a^2 + b^2 ight)left( left( x + 1 ight)^2 + left( y - 2 ight)^2 + 8 ight) \ = sqrt 2left( a^2 + b^2 ight)left( 8 + 8 ight) = 4sqrt 2left( a^2 + b^2 ight) . \ endgathered $

Chọn giải đáp B.

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức

Với những số thực dương $x_1,x_2,...,x_n$ ta luôn luôn có $dfraca_1^2x_1+dfraca_2^2x_2+...+dfraca_n^2x_nge frac(a_1+a_2+...+a_n)^2x_1+x_2+...+x_n.$ Dấu bằng đạt tại $dfraca_1x_1=dfraca_2x_2=...=dfraca_nx_n.$

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=(x+m)^3+(x+n)^3+(x+p)^3-x^3,$ tất cả đồ thị $(C).$ Tiếp tuyến đường của $(C)$ trên điểm gồm hoành độ $x=1$ có hệ số góc nhỏ dại nhất. Giá chỉ trị nhỏ dại nhất của biểu thức $m^2+2n^2+3p^2$ bằng
A. $frac1211.$ B. $frac9611.$ C. $frac4811.$ D. $frac2411.$

Giải. Hệ số góc của tiếp tuyến là

$k=y"=3(x+m)^2+3(x+n)^2+3(x+p)^2-3x^2=6x^2+6(m+n+p)x+3m^2+3n^2+3p^2$ đạt giá chỉ trị nhỏ nhất tại $x=-frac6(m+n+p)2.6=-fracm+n+p2.$ Theo mang thiết bao gồm $-fracm+n+p2=1Leftrightarrow m+n+p=-2.$

Khi kia theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có:

$m^2+2n^2+3p^2=dfracm^21+dfracn^2frac12+dfracp^2dfrac13ge dfrac(m+n+p)^21+dfrac12+frac13=dfrac41+dfrac12+dfrac13=dfrac2411.$

Dấu bằng đạt tại (left{ eginarrayl m + n + p = - 2\ dfracm1 = dfracnfrac12 = dfracpdfrac13 endarray ight. Leftrightarrow m = - dfrac1211,n = - dfrac611,p = - dfrac411.) Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho những số thực $x,y,z$ thoả nguyện $xy+yz+zx=1.$ giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức $3x^2+4y^2+5z^2$gần nhấtvới tác dụng nào sau đây ?
A. $1,33.$ C. $3,89.$ B. $1,94.$ D. $2,67.$

Giải. Ta tiến công giá: $3x^2+4y^2+5z^2ge 2k(xy+yz+zx)Leftrightarrow (k+3)x^2+(k+4)y^2+(k+5)z^2ge k(x+y+z)^2.$

Trong đó $k$ là 1 hằng số dương được lựa chọn sau, khi đó giá trị bé dại nhất của biểu thức $3x^2+4y^2+5z^2$ bởi $2k.$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có:

$(k+3)x^2+(k+4)y^2+(k+5)z^2=dfracx^2frac1k+3+dfracy^2frac1k+4+dfracz^2frac1k+5ge dfrac(x+y+z)^2dfrac1k+3+dfrac1k+4+dfrac1k+5.$

Vậy hằng số $k$ đề xuất tìm là nghiệm dương của phương trình $dfrac1dfrac1k+3+dfrac1k+4+dfrac1k+5=kLeftrightarrow k^3+6k^2-30=0Rightarrow kapprox 1,9434.$ vì vậy chọn lời giải C.

Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ)

$sqrta^2+b^2+sqrtm^2+n^2ge sqrt(a+m)^2+(b+n)^2.$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi $fracam=fracbn=k>0.$Ví dụ 1:Giá trị bé dại nhất của biểu thức $sqrt(x-1)^2+y^2+sqrt(x+1)^2+y^2+left| y-2 ight|$ bằng
A. $sqrt5.$ B. $2.$ C. $2+sqrt3.$ D. $frac4+sqrt32.$

Giải.Sử dụng bất đẳng thức Mincopsky ta có

(eginarrayc sqrt (x - 1)^2 + y^2 + sqrt (x + 1)^2 + y^2 = sqrt (x - 1)^2 + y^2 + sqrt ( - x - 1)^2 + y^2 \ ge sqrt (x - 1 - x - 1)^2 + (y + y)^2 = sqrt 4y^2 + 4 = 2sqrt y^2 + 1 . endarray)

Do kia $sqrt(x-1)^2+y^2+sqrt(x+1)^2+y^2+left| y-2 ight|ge f(y)=2sqrty^2+1+left| y-2 ight|ge undersetmathbbRmathopmin ,f(y)=fleft( frac1sqrt3 ight)=2+sqrt3.$

Dấu bằng đạt tại (left{ eginarrayl fracx - 1 - x - 1 = fracyy\ y = frac1sqrt 3 endarray ight. Leftrightarrow x = 0;y = frac1sqrt 3 .) Chọn lời giải C.

*

*

*

Bạn phát âm cần bạn dạng PDF của nội dung bài viết này hãy nhằm lại bình luận trong phần comment ngay bên dưới bài viết này Vted đang gửi cho những bạn

Đề thi thử tốt nghiệp thpt 2023 môn Toán có giải thuật chi tiếtCombo 4 Khoá Luyện thi THPT nước nhà 2023 Môn Toán giành riêng cho teen 2K5

Fj
QXMYs7.png" alt="*">

Các bất đẳng thức cơ bản cần ghi nhớ áp dụng trong số bài toán giá bán trị lớn số 1 và giá bán trị bé dại nhất>>Tải về Tổng hợp các công thức lượng giác phải nhớ>>Sách tò mò Tư Duy kỹ thuật Giải Bất Đẳng Thức việc Min- Max

XEM TRỰC TUYẾN

>>Tải về nội dung bài viết Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong những bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ dại nhất

Một số bất đẳng thức đã được chứng minh thường sử dụng để để giải những bài tập BĐT cơ bản và nâng cấp trong chương trình Toán THCS.

Bất đẳng thức trong chương trình Toán trung học cơ sở lớp (6, 7, 8, 9) là một dạng toán hay và khó. Các bài tập chứng minh BĐT thường là bài cuối cùng trong những đề thi để phân loại học sinh, câu hỏi chứng minh bất đẳng thức thcs thi học sinh giỏi cấp quận (huyện), tỉnh, thành phố.

Bất đẳng thức trung học cơ sở cơ bản và nâng cao

Các bất đẳng thức cấp 2 thường dùng là:

1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means):

Với những bộ số

*
ko âm ta có:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by Quick
La
Te
X.com" height="35" width="261" style="vertical-align: -12px;">

Ta tất cả 3 dạng thường gặp của bđt này là.

Dạng 1:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by Quick
La
Te
X.com" height="35" width="261" style="vertical-align: -12px;">

Dạng 2:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by Quick
La
Te
X.com" height="18" width="270" style="vertical-align: -5px;">

Dạng 3:

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

Đối với BĐT này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM mang đến 2 số và 3 số

2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)

Dạng tổng quát: mang đến là 2n số thực tùy ý lúc đó

Dạng 1:

*
(1)

Dạng 2:

*
(2)

Dạng 3:

*
(3)

Dấu “=” xảy ra ở (1)(2)

*

Dấu “=” xảy ra ở (3)

*

Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0

3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel tốt còn gọi là BĐT Schwarz

Cho là những số >0

Ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)

Dạng tổng quát Nếu

*

Hoặc

*

Dạng 1:

*

Dạng 2:

*

Nếu

*

hoặc

*

Dạng 1:

*

Dạng 2:

*

Bất đẳng thức Chebyshev ko được sử dụng trực tiếp nhưng mà phải chứng minh lại bằng biện pháp xét hiệu

Bất đẳng thức Chebyshev mang lại dãy số sắp thứ tự, vày đó nếu những số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử tất cả quan hệ thứ tự giữa các số.

5. Bất đẳng thức Bernoulli

Với

*
-1;rge 1vee rle 0Rightarrow (1+x)^rge 1+rx" title="Rendered by Quick
La
Te
X.com" height="19" width="328" style="vertical-align: -5px;">

Nếu

*
r>0" title="Rendered by Quick
La
Te
X.com" height="14" width="73" style="vertical-align: -2px;"> thì
*

Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM

6. Bất đẳng thức Netbitt

Ở đây bản thân chỉ nêu dạng thường dùng

Với x,y,z là những số thực >0

Bất đẳng thức Netbitt 3 biến:

*

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z>0

BĐT Netbitt 4 biến:

*

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=d>0

7. Bất đẳng thức trung bình cộng – mức độ vừa phải điều hòa AM-HM (Arithmetic Means – Hamonic Means)

Nếu

*
là những số thực dương thì

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

8. Bất đẳng thức Schur

Dạng thường gặp

Cho a,b,c là những số ko âm

*

*
với r là số thực dương

Đẳng thức xảy ra lúc a=b=c hoặc a=0 với b=c và các hoán vị

9. Bất đẳng thức chứa dấu giá bán trị tuyệt đối

Với mọi số thực x,y ta có

*

Đẳng thức xảy ra khi x,y cùng dấu hay

*

Với mọi số thực x,y ta có

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

*

10. Bất đẳng thức Mincopxki

Với 2 bộ n số

*
*
thì :

Dạng 1:

*

Dạng 2: mang đến x,y,z,a,b,c là những số dương ta có

*
a b c+sqrt<4>x y z leq sqrt<4>(a+x)(b+y)(c+z) sqrta c+sqrtb d leq sqrt(a+b)(c+d)" title="Rendered by Quick
La
Te
X.com" height="22" width="538" style="vertical-align: -6px;">

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *