Tổng hợp những dạng toán cực trị hình học tập giải tích trong không gian oxyz
Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam
DẠNG TOÁN 1: MẶT PHẲNG CHỨA ĐƯỜNG THẲNG, TẠO VỚI ĐƯỜNG THẲNG GÓC LỚN NHẤT
Trước hết các bạn cùng theo dõi ví dụ sau:
Câu 1. Bạn đang xem: Cực trị hình học không gian
A. $arcsin frac1sqrt3.$
B. $arccos frac1sqrt3.$
C. $arcsin frac1sqrt2.$
D. $arccos frac1sqrt2.$
Giải.Đường trực tiếp $Delta :left{ egingathered x - 1 = 2(y + 1) hfill \ - 1(y + 1) = 1(z + 2) hfill \ endgathered ight. Leftrightarrow left{ egingathered x - 2y - 3 = 0 hfill \ y + z + 3 = 0 hfill \ endgathered ight..$
Suy xuất hiện phẳng $(P)$ cất $Delta $ có dạng : $(P):m(x-2y-3)+n(y+z+3)=0Leftrightarrow (P):mx+(n-2m)y+nz-3m+3n=0(m^2+n^2>0).$
Góc $alpha $ thân $(P)$ cùng với trục hoành khẳng định bởi
$sin alpha =fracsqrtm^2+(n-2m)^2+n^2=frac m ightsqrt2(n-m)^2+3m^2le fracsqrt3m^2=frac1sqrt3Rightarrow alpha _max =arcsin frac1sqrt3.$
Chọn giải đáp A.
*Chú ý. Phương diện phẳng chứa đường thẳng $Delta :left{ eginalign & a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \ và a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \ endalign
ight.$ gồm dạng
và góc giữa đường và phương diện tính theo sin.
*Trên đây, tôi trình diễn lời giải bởi pp giải tích tương xứng với mọi đối tượng người dùng học sinh; cách giải đơn thuần hình học đang cho giải mã đẹp hơn nhưng yên cầu tư duy.
DẠNG TOÁN 2 : MẶT PHẲNG CHỨA ĐƯỜNG, TẠO VỚI MẶT GÓC LỚN NHẤT
Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ đến hai điểm $A(1;2-1),B(0;4;0)$ và mặt phẳng $(P):2x-y-2z+1=0.$ Xét mặt phẳng $(Q)$ chuyển đổi qua $A,B.$ Góc nhỏ nhất thân $(P)$ với $(Q)$ là ?
A. $arccos fracsqrt63.$
B. $arccos frac1sqrt3.$
C. $arccos frac1sqrt5.$
D. $arccos frac2sqrt5.$
Giải. Phương trình $AB:fracx-1=fracy-42=fracz1Leftrightarrow left{ eginalign & 2x+y-4=0 \ & y-2z-4=0 \ endalign ight..$
Vậy $(Q)$ cất $A,B$ bao gồm dạng : $m(2x+y-4)+n(y-2z-4)=0Leftrightarrow 2mx+(m+n)y-2nz-4m-4n=0(m^2+n^2)>0.$
Khi đó góc giữa hai khía cạnh phẳng xác minh bởi
$eginalign và cos alpha =fracleftsqrt2^2+(-1)^2+(-2)^2.sqrt(2m)^2+(m+n)^2+(-2n)^2 \ & =fracleftsqrt4m^2+4n^2+(m+n)^2=frac m+n ightsqrt3(m+n)^2+2(m-n)^2 \ và le fracsqrt3(m+n)^2=frac1sqrt3Rightarrow alpha _min =arccos frac1sqrt3. endalign$
Chọn đáp án B.
DẠNG TOÁN 3: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
Chúng ta thuộc xét lấy ví dụ sau:
TẢI BẢN PDF
BS9Phw2Ke.png" alt="*">
DẠNG TOÁN 4: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG LỚN NHẤT
Kiến thức đề xuất sử dụng:
Câu 5. Trong không khí với hệ toạ độ $Oxyz,$ đến đường thẳng $Delta :fracx-12=fracy-1=fracz+12$ với điểm $A(-1;2;3).$ mặt phẳng $(P)$ biến đổi chứa con đường thẳng $Delta $ giải pháp điểm $A$ một khoảng lớn nhất là ?
Cách 1: Kí hiệu $H,K$ thứu tự là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(P),Delta $ ta có
Cách 2: Đường trực tiếp $Delta :left{ eginalign & -(x-1)=2y \ và 2y=-(z+1) \ endalign ight.Leftrightarrow left{ eginalign và x+2y-1=0 \ & 2y+z+1=0 \ endalign ight..$
Vì vậy $Delta subset (P)Rightarrow (P):m(x+2y-1)+n(2y+z+1)=0Leftrightarrow mx+2(m+n)y+nz-m+n=0.$ vày vậy $d(A,(P))=fracsqrtm^2+4(m+n)^2+n^2=fracsqrtm^2+n^2+4(m+n)^2le frac2sqrt533.$
Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow 16m=-11n.$
ÁP DỤNG ĐẾN HẾT đôi mươi - 11 - 2017
Các em thừa nhận vào hình ảnh đại diện từng khoá học nhằm xem cụ thể học phí bây giờ đang áp dụng và học phí gốc của khoá học:
PRO X LUYỆN THI thpt QUỐC GIA MÔN TOÁN 2018 chỉ 699 ngàn
Đây là Khoá học lớn nhất và không thiếu nhất tại Vteddành cho học sinh K2000 luyện thi THPT tổ quốc năm 2018, trong chương trình luyện thi THPT tổ quốc Môn Toán 2018 được xây dựng dành cho các em học sinh khoá 2000 trên Vted.vn gồm toàn cục kiến thức cơ bạn dạng SGK 12 và phần nâng cao định phía ôn luyện thi THPT giang sơn Môn Toán 2018, Khoá PRO X Toán 2018 tại Vted gồm 2 khoá chủ yếu sau đây:
*Lưu ý: Vì chương trình thi THPT giang sơn 2018 so với môn Toán gồm kiến thức của 12 với 11, thế nên Khoá LUYỆN THI thpt QUỐC GIA 2018 vào khoá học tập này gồm 2 phần chính:
| STT | NỘI DUNG | THỜI GIAN | |
| 1 | BÁM SÁT TOÀN BỘ CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12 | THÁNG 3 ĐẾN HẾT THÁNG 11/2017 | |
| 2 | ÔN TẬP LẠI KIẾN THỨC TOÁN 11 (CẬP NHẬT THEO CÔNG BỐ CỦA BGD) | THÁNG 12/2017 ĐẾN THÁNG 3/2018 |
ĐỐI VỚI KHOÁ LUYỆN ĐỀ ĐI KÈM KHOÁ HỌC NÀY: GỒM trăng tròn ĐỀ BÁM SÁT CỰC tốt THEO ĐÚNG CẤU TRÚC ĐỀ THI trung học phổ thông QUỐC GIA MÔN TOÁN 2018 bởi BGD CÔNG BỐ (PHÁT HÀNH THÁNG 12/2017 ĐẾN HẾT T6/2018)
TẤT CẢ HỌC VIÊN tham gia KHOÁ PRO X ĐƯỢC tham gia THI THỬ MIỄN PHÍ THEO LỘ TRÌNH KIẾN THỨC KHOÁ PRO X HÀNG TUẦN TẠI ĐÂY: thâm nhập THI
Yêu ước tài liệu:
•Sách giáo khoa cơ bạn dạng 12 hoặc cải thiện 12 (Đại số và Hình học)
•Sách bài xích tập cơ bản 12 hoặc nâng cấp 12 (Đại số và hình học)
•Vở ghi (khuyên dùng sổ khủng từ 300 trang trở lên)
HẠN SỬ DỤNG KHÓA HỌC: T7/2018
Chi tiết chương trình học những em xem tại đây:http://vted.vn/tin-tuc/du-kien-chuong-trinh-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-danh-cho-k2000-2246.html
Ngoài ra những em tham gia khoá PRO X ngoài được làm bài tập có khối hệ thống theo bài bác giảng vào thi online của khoá học các em còn được gia nhập thi thử mặt hàng tuần miễn phí nhằm mục đích ôn tập kỹ năng và kiến thức đã học theo lộ trình của khoá PRO X trên đây
THAM GIA THI THỬ MIỄN PHÍ HÀNG TUẦN
VÀO PHÒNG THI THỬ MIỄN PHÍ
Các em K2000 nên tìm một khoá Luyện thi Môn Toán chất lượng nhất, không hề thiếu nhất, dễ học tuyệt nhất và bảo vệ mục tiêu 9+ vào kì thi THPT tổ quốc 2018 thì PRO X là lựa chọn tuyệt vời và hoàn hảo nhất cho các em.
Hãy đăng kí ngay:
Giảm tức thì 600.000đ lúc đăng kí khoá học "PRO X++ LUYỆN THI trung học phổ thông QUỐC GIA MÔN TOÁN 2018" Cho học viên K2000 ngay hôm nay.
HỌC PHÍ GỐC: 1.200.000Đ
HỌC PHÍ ƯU ĐÃI: 600.000Đ
Thời gian ưu đãi
CHỈ ÁP DỤNG ĐẾN HẾT NGÀY 10- 10 - 2017
ĐĂNG KÍ HỌC
PRO X Toán 2018 trên Vted có gì mang lại 2k?
CÁC CÂU HỎI THƯỜNG GẶP
1. Bí quyết nạp tiền vào tài khoản bằng thẻ cào:http://vted.vn/tin-tuc/cac-nap-tien-vao-tai-khoan-tren-vtedvn-13.html
2. Bao gồm mất chi phí nhà mạng lúc nạp thẻ trên Vted không? học viên khi nạp tiền bởi thẻ cào nhà mạng mobile vào tài khoản tại Vted ko mất thêm bất kể chí mức giá nào khác. Mệnh giá bán thẻ nạp từng nào thì tài khoản của những em sẽ sở hữu được bấy nhiêu chi phí trong tài khoản Vted.
3. Bí quyết nạp chi phí vào thông tin tài khoản bằng chuyển khoản qua ngân hàng ngân hàng:http://vted.vn/tin-tuc/nap-tien-vao-tai-khoan-12.html
(Video trình làng Khoá: PRO X Toán 2018 trên Vted)
(Lộ trình học khoá PRO X Toán 2018 tại Vted)
Chi tiết công tác học các em xem Mục lục của khoá học bên dưới!
6 LÍ vị TẠO NÊN SỰ KHÁC BIỆT CỦA CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN TẠI VTED CỦA THẦY ĐẶNG THÀNH NAM
•Nội dung chất lượng luôn đi giáp với trong thực tiễn đề thi
•Học 1 được 3 và còn không những thế nữa cùng với tổng thời lượng cho đến 500giờ/khoá
•Tài liệu cung cấp & bài tập đi kèm theo đầy đủ, chỉ sợ học viên phát hoảng do quá nhiều
•Giao lưu trực con đường hàng tuần và gặp gỡ trực tiếp tại Hà Nội
•Học tổn phí quá thấp so với phần đa gì các bạn nhận được & liên tục update các nội dung mới trọn vẹn miễn phí
•Đảm bảo tác dụng thi nếu như bạn tiếp thu được 70% lượng kỹ năng và kiến thức mà khoá học có lại
Có thể bạn sẽ gặp một số đối tượng đi rao phân phối những đoạn clip này của chúng tôi không xin phép (đối với hầu như video shop chúng tôi dạy trong số khóa trước đây) cùng hành vi lừa đảo Bạn so với những đoạn phim Tôi đã để công khai minh bạch trên kênh Youtube của chúng tôi mà bị mang đi kinh doanh thương mại ko xin phép. Chúng ta nên sáng xuyên suốt trước đầy đủ lời mời mọc của các thành phần mất nhân biện pháp này. Hãy chứng tỏ nhân biện pháp của Bạn bằng phương pháp hãy phủ nhận và chụp hình lại đoạn mời mọc của bọn chúng (Facebook, tin tức cá nhân, đoạn chat mời mọc) cùng gửi cho cửa hàng chúng tôi để có giải pháp xử lý chúng. Công ty chúng tôi sẽ giữ bí mật cho các bạn đồng thời gửi tặng ngay Bạn phần quà với lời cảm ơn chân thành.
Vted.vn - học tập toán online quality cao!
KHOÁ PRO XMAX - CHINH PHỤC NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO 2018 - MÔN TOÁN chỉ 498 ngàn
Khoá học hỗ trợ một số bài bác giảng vận dụng cao môn Toán thi THPT đất nước 2018 kèm hệ thống bài tập áp dụng cao từ 9,0 điểm đến 10,0 điểm giúp các em hoàn thiện mục tiêu đạt điểm 10 môn Toán đến kì thi THPT quốc gia 2018.
Các nhà đề tất cả trong khoá học vận dụng cao 2018 - môn toán trên vted tất cả có:
Hàm số với đồ thị hàm sốMũ với logarit
Tích phân
Số phức
Tổ hợp cùng xác suất, nhị thức New-tơn
Cấp số cộng và cấp số nhân
Lượng giác
Khối đa diện
Thể tích khối nhiều diện
Góc, khoảng cách trong ko gian
Khối tròn xoay (nón, trụ, cầu)Thể tích của vật thể tròn xoay
Câu 44. fan ta đề nghị cắt một tờ tôn có hình dạng là 1 trong elíp với độ lâu năm trục lớn bằng 2a,">2a, độ dài trục bé bằng 2b(a>b>0)">2b(a>b>0)để được một tấm tôn có những thiết kế chữ nhật nội tiếp elíp. Tín đồ ta đụn tấm tôn hình chữ nhật thu được thành một hình trụ không tồn tại đáy như hình bên. Tính thể tích béo nhất có thể được của khối trụ thu được.
Xem thêm: Xe buýt cán chết người - tin tức tức online 24h về xe buýt gây tai nạn
A. 2a2b33π">2a2b33√π
B. 2a2b32π">2a2b32√π
C. 4a2b32π">4a2b32√π
D. 4a2b33π">4a2b33√π
Câu 48. Một tấm gỗ hình trụ với nửa đường kính đáy bằng 6 và độ cao bằng 8. Bên trên một mặt đường tròn đáy nào đó ta đem hai điểm A,B">A,Bsao mang lại cung AB⌢">AB⌢ có số đo 1200.">1200. Tín đồ ta cắt từng khúc một gỗ bởi một khía cạnh phẳng đi qua A,B">A,B và vai trung phong của hình tròn trụ (tâm của hình tròn trụ là trung điểm của đoạn nối trung ương hai đáy) và để được thiết diện như hình vẽ. Tính diện tích s S">S của tiết diện thu được.
A. S=20π+303.">S=20π+303‾√. | B. S=20π+253.">S=20π+253‾√. | C. S=12π+183.">S=12π+183‾√. | D. S=20π.">S=20π. . |
Các bạn học viên đã thâm nhập khoá học PRO X, học tập khoá học này là 1 trong những lợi cầm vì những em không cần phải bổ sung thêm kỹ năng và kiến thức dưới 9,0 điểm để học khoá học tập này. Các em rất có thể học bài giảng với làm bài tập của PRO XMAX dễ dàng và đơn giản hơn so với các bạn khác chưa tham gia khoá PRO X môn Toán 2018 trên vted
Học sinh khá, xuất sắc môn Toán kim chỉ nam đạt tối thiểu 9,0 điểm.Giáo viên yêu cầu tìm nguồn bài bác giảng hoặc bài bác tập mang lại nhóm thắc mắc vận dụng, điểm 10 cho kì thi trung học phổ thông Quốc gian chuẩn bị tới, ship hàng trực tiếp quy trình giảng dạy
Khoá học tập được bộ quà tặng kèm theo kèm 5 đề thi demo THPT tổ quốc môn Toán 2018 miễn chi phí hàng tuần trên Vted hẳn nhiên thi và xem lời giải chi tiết tại khoá học này
PRO Z NỀN TẢNG TOÁN HỌC 10 VỮNG CHẮC cho TEEN 2K2 chỉ 360 ngàn
PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC cho TEEN 2K1
Chinh phục đề thi THPT đất nước 2017 Môn Toán
Pro X - chiến thuật cho vấn đề hàm số
PRO X TOÁN 2018 LUYỆN THI thpt QUỐC GIA 2018 • giành cho thí sinh với kim chỉ nam đạt tối thiểu 9,0 điểm Toán 2018 • Học tổng thể 12 cơ bản và nâng cao đã bớt tải • Ôn tập kiến thức 11 bao gồm trong đề thi Toán 2018 • Khoá học kèm theo Khoá Luyện đề Toán 2018 | Học mức giá gốc: 1,200,000đ | Học mức giá ưu đãi: 699,000đ + tặng kèm mã giảm ngay 50,000đ chỉ từ 649.000đ. S2mv |
PRO X bao gồm:
• Khoá luyện thi 2018
• Khoá luyện đề 2018
Tham gia đăng kí PRO X bạn sẽ được:
• Được học cục bộ kiến thức 12 tự cơ bản đến nâng cao, tổng quan mọi dạng bài, rèn luyện ngân hàng đề thi đa dạng chủng loại và chất.
• Được ôn tập lại toàn cục 11 tất cả trong chương trình thi 2018, dự kiến cỗ công bố cấu trúc đề thi vào mức tháng 10 - 11.
• Được rèn luyện kĩ năng làm đề với Khoá luyện đề 2018 chất.
Ngoài ra:
• Được tam gia thi demo miễn tầm giá hàng tuần trên group hs vted với website vted trên đây:https://vted.vn/khoa-hoc/xem/thi-thu-mon-toan-hang-tuan-tai-group-hs-vtedvn-kh078989756.html
• Được giúp sức bởi cộng đồng học sinh giỏi, Mod với giáo viên hàng đầu tại:https://www.facebook.com/groups/vted.vn/
(Pro X trên Vted tất cả gì mang đến teen 2k?)
Vted.vn - học tập toán online quality cao!
6 LÍ vì chưng TẠO NÊN SỰ KHÁC BIỆT CỦA CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN TẠI VTED CỦA THẦY ĐẶNG THÀNH nam giới
•Nội dung chất lượng luôn đi gần kề với thực tiễn đề thi
•Học 1 được 3 cùng còn không những thế nữa cùng với tổng thời lượng cho đến 500giờ/khoá
•Tài liệu cung cấp & bài xích tập đi kèm đầy đủ, chỉ sợ hãi học viên phát hoảng vì không ít
•Giao lưu lại trực tuyến đường hàng tuần và gặp trực tiếp tại thủ đô hà nội
•Học phí tổn quá phải chăng so với đầy đủ gì các bạn nhận được & liên tục update các văn bản mới hoàn toàn miễn phí
•Đảm bảo kết quả thi nếu khách hàng tiếp thu được 70% lượng kiến thức mà khoá học đem về
Có thể bạn sẽ gặp một số đối tượng người dùng đi rao bán những đoạn phim này của chúng tôi không xin phép (đối với số đông video công ty chúng tôi dạy trong những khóa trước đây) cùng hành vi lừa đảo Bạn so với những video clip Tôi sẽ để công khai trên kênh Youtube của shop chúng tôi mà bị đem đi sale thương mại ko xin phép. Bạn nên sáng suốt trước phần nhiều lời mời mọc của những thành phần mất nhân cách này. Hãy minh chứng nhân bí quyết của Bạn bằng phương pháp hãy phủ nhận và chụp ảnh lại đoạn mời mọc của bọn chúng (Facebook, tin tức cá nhân, đoạn chat mời mọc) và gửi cho công ty chúng tôi để có phương án xử lý chúng. Chúng tôi sẽ giữ kín đáo cho các bạn đồng thời gửi tặng Bạn phần quà cùng lời cảm ơn chân thành.
Xin giới thiệu nội dung bài viết dành cho học viên lớp 12 và gia sư toán trung học phổ thông có tiêu đề CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ trong KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ của tác giả ...
Xin giới thiệu bài viết dành cho học viên lớp 12 và cô giáo toán thpt có tiêu đề CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ trong KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ của tác giả Nguyễn tất Thu (Trường trung học phổ thông chuyên Lương rứa Vinh - Đồng Nai), đăng trên tạp chí Epsilon số mới nhất.Bài toàn rất trị nói bình thường hay rất trị tọa độ không khí Oxyz thường tạo nên khó khăn mang lại học sinh. Cạnh tranh khăn học viên thường chạm chán khi đứng trước một việc cực trị trong không khí Oxyz là: phương pháp xử lí bài toán đó? kỹ năng và kiến thức cần dùng?... Với cả trung khu lí nữa! bài viết này nhằm giúp những em học sinh hoàn toàn có thể tìm được hướng xử lý khi gặp mặt bài toán cực trị trong không khí Oxyz.
Với vấn đề cực trị trong không khí Oxyz, bọn họ thường up load theo một trong những hai hướng sau:Hướng 1: (Đại số) đưa đại lượng cần tìm min, max về một biểu thức đại số với dùng những bất đẳng thức hoặc khảo sát điều tra hàm số để tìm min, max.Hướng 2: (Hình học) cùng với hướng làm này, ta sử dụng những bất đẳng thức trong phần bên trên để tiến công giá.Với biện pháp giải theo phía đại số sẽ bổ ích thế là ít nên đến trí tưởng tượng không gian mà cần thống kê giám sát nhiều hơn, vì vậy sẽ mất không ít thời gian với dễ có sai sót.Với phương pháp giải theo hướng Hình học yên cầu học sinh cần phải có sự tưởng tượng ko gian tốt hơn với thường sẽ có lời giải ngăn nắp hơn.Dù là theo cách nào thì các em bắt buộc nắm được những kỹ năng và kiến thức cơ bản về bất đẳng thức đại số, khảo sát điều tra hàm số và các bất đẳng thức hình học...
Nội dung đưa ra tiết
Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn phát âm viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các đơn vị Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học tập Toán,278,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá bán năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm soát 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,982,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học viên giỏi,126,Đề thi THỬ Đại học,399,Đề thi demo môn Toán,64,Đề thi xuất sắc nghiệp,45,Đề tuyển chọn sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,220,Đọc báo góp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải đưa ra tiết,196,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án năng lượng điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án vật Lý,3,Giáo dục,362,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,206,Hằng số Toán học,19,Hình khiến ảo giác,9,Hình học tập không gian,108,Hình học tập phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,12,Khái niệm Toán học,66,Khảo ngay cạnh hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,La
Tex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,Math
Type,7,Mc
Mix,2,Mc
Mix phiên bản quyền,3,Mc
Mix Pro,3,Mc
Mix-Pro,3,Microsoft bỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều phương pháp giải,36,Những mẩu truyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,303,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mượt Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cung cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,22,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,Test
Pro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,177,Toán 12,391,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học tập Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học tập Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán tè học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp nhất Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,
